jueves, 17 de septiembre de 2015
domingo, 30 de agosto de 2015
Nature by numbers
Esta joya asombra
al ver las matemáticas dentro de la naturaleza. Y es que de eso trata el
vídeo, nos muestra como la geometría y las matemáticas están presentes
en la naturaleza. A través de las propiedades geométricas y matemáticas
podemos entender mejor como se organiza la naturaleza y, por extensión,
el mundo. En esta animación, Cristóbal Vila se centra en tres aspectos
concretos sobre los que se ha escrito mucho, en especial relacionado con
el arte: la sucesión y espiral de Fibonacci, la proporción y
ángulo áureos, las triangulaciones de Delaunay junto a las
teselaciones de Voronoi.
Toda la teoría que se esconde tras la animación la podéis encontrar en un excelente documento que acompaña a proyecto.
Referencia: mates.aomatos.com
Matemáticas en la tela de araña
En la siguiente animación se puede ver como construye una araña su telaraña. Una muestra más de que la geometría está presente en la naturaleza.
Podemos observar como usando triángulos (es el único polígono
indeformable) construye la base de la telaraña con el objetivo de tener
una estructura rígida y resistente. Una vez hecha la estructura base,
pasa a construir mediante elipses el resto de la telaraña, consiguiendo
una estructura trampa certera.
Para finalizar, la araña se va al centro de la telaraña para detectar cualquier vibración que se produzca.
Y para ver a una araña real en acción, este vídeo:
Referencia: mates.aomatos.com
viernes, 28 de agosto de 2015
domingo, 23 de agosto de 2015
martes, 18 de agosto de 2015
viernes, 14 de agosto de 2015
martes, 11 de agosto de 2015
lunes, 10 de agosto de 2015
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas presentan una
característica nueva, frente a las polinómicas y racionales: son periódicas.
Sus valores, y por tanto su comportamiento, se repite una y otra vez, cada
cierto intervalo.
Esa curiosa propiedad y el hecho incuestionable de
que la Naturaleza ofrece innumerables ejemplos de fenómenos periódicos han
encumbrado a esta familia de funciones a lo más alto de los métodos de la
Matemática aplicada.
Movimiento armónico
simple de una bola suspendida de un resorte.
Cardiología, sismología, electrónica, óptica,
mecánica, música, telecomunicación, aeronáutica, cristalografía, etc., son
campo abonado para el uso de estas importantes funciones.
La función Seno
Las razones trigonométricas asignan a cada número
real (el ángulo en radianes) un único número. En consecuencia, pueden verse
como funciones definidas en toda la recta real. Son las llamadas funciones trigonométricas.
Por ejemplo, si denotamos por x el ángulo (en radianes), la función
seno y = sen x hace corresponder a cada
ángulo x el valor del seno de x. Esta función es continua en toda la
recta real y tiene la gráfica que muestra.
Puesto que tras una, dos, tres,… vueltas completas
al círculo regresamos al punto de partida; los valores de la función seno se
repiten cada 2Pi
unidades. Por eso su gráfica es igual en el
intervalo (0; 2Pi) que en (2Pi; 4Pi), o en (4Pi; 6Pi), etc.
Eso demuestra que la
función seno es periódica con período 2
, de acuerdo con la siguiente definición:
Una función (no constante) y = f(x) se dice que es periódica
si hay algún número T tal que f(x + T) = f(x) para todo x. La gráfica repite sus valores cada T unidades. El menor de los valores T que cumplan esa condición es el período de la función.
Figura 11.4 - Fenómenos periódicos
Un fenómeno no periódico
Ejemplo
(a) Las
funciones y = sen x, y = sen 2x, y = sen 3x,… son periódicas. El período de y = sen nx, con n entero positivo, es T = 2Pi/n.
(b)
Ningún polinomio (de grado n > 0) define una
función periódica. En efecto, todo polinomio de grado n > 0 tiene algún
extremo local y además a lo sumo tiene n – 1 extremos locales. Por tanto, su
gráfica no puede repetirse infinitas veces, ya que en tal caso tendría
infinitos extremos locales.
Traslaciones de la gráfica del seno
Las traslaciones verticales
producen la gráficas periódicas y = sen x
+ k; las horizontales dan las gráficas periódicas y = sen (x + k).
La función Coseno
Entre las traslaciones
horizontales de la gráfica del seno hay una muy especial: la trasladada k = Pi/2 unidades (o sea, radianes), porque coincide con la gráfica de
la función coseno y = cos x.
La gráfica de y = sen x, trasladada Pi/2 unidades a la
izquierda, da la gráfica de la función y = cos x.
Para
distinguir las gráficas del seno y del coseno, recuerda que sen 0 = 0 y cos 0 = 1
La función coseno es periódica,
con período 2Pi
, por la misma razón
que el seno.
Además, sen (- x
) = - sen x
nos dice que la función seno es impar y cos
(- x
) = cos x
que la
función coseno es par.
La función Tangente
La
función tangente y = tg x es el cociente de las funciones
seno y coseno:
No
está definida en los puntos x = (2n +
1)Pi/2, con n
entero arbitrario, en los cuales se anula el coseno (el denominador). Así pues,
su dominio es toda real excepto esos puntos. Es continua en ese dominio y tiene
en x = (2n + 1)Pi/2 discontinuidades de tipo infinito.
Es
periódica, propiedad que hereda del seno y del coseno, pero no con período 2Pi
, sino con período Pi.
Pues cumple que tg (x + Pi ) = tg x, para todo x.
Pues cumple que tg (x + Pi ) = tg x, para todo x.
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